3.1. Показатели надежности невосстанавливаемых систем

Вероятность безотказной работы или функция надежности P(t) выражает вероятность того, что невосстанавливаемый объект не откажет к моменту времени наработки t.

Показатель обладает следующими свойствами:

P(0) = 1 (предполагается, что до начала работы объект является безусловно работоспособным); (1)

(предполагается, что объект не может сохранять свою работоспособность неограниченно долго); (2)

предполагается, что объект не может после отказа спонтанно восстанавливаться (для систем, восстанавливаемых обслуживающим персоналом, этот показатель не используется). (3)

Дополнение вероятности безотказной работы до единицы

(5)

называется вероятностью отказа или функцией ненадежности. Вероятность отказа Q(t) - вероятность того, что случайное время до отказа меньше заданного времени t. Поэтому функция Q(t) совпадает с функцией распределения времени до отказа F(t):

(6)

где f(t) - функция плотности распределения времени до отказа.

Тогда

(7)

В результате испытаний можно определить P(t) лишь приближенно, в виде статистической оценки, обозначаемой тильдой, т.е.

(8)

где n(t) – количество объектов, отказавших к моменту времени t, при их исходном количестве N0.

Плотность распределения наработки до отказа называют частотой отказов:

(9)

Экспериментально частота отказов определяется как отношение числа отказавших объектов в единицу времени к первоначальному числу объектов при условии, что все вышедшие из строя объекты не восстанавливаются.

Согласно этому определению

(10)

где n(Δt) – число отказавших объектов в интервале времени от t - Δt/2 до t + Δt/2.

Средняя наработка до отказа определяется как математическое ожидание времени до первого отказа:

(11)

Средняя наработка до отказа является средним показателем и не отражает характер распределения времени до отказа.

По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого отказа вычисляется по формуле

(12)

где t_i – время безотказной работы i- го объекта.

Интенсивность отказов λ(t) выражает интенсивность процессов возникновения отказов.

В начале периода функционирования системы на этапе обнаружения и исправления ошибок проектирования и производственных дефектов интенсивность отказов уменьшается со временем. Затем в течение большей части срока службы интенсивность потока отказов остается примерно постоянной, т.е. система может выйти из строя только из-за действия внезапных отказов. В конце срока службы она значительно увеличивается вследствие износа аппаратуры (рис.1).

Рисунок 3.1. Зависимость интенсивности отказов от времени

Статистическая интенсивность отказов определяется отношением числа отказавших объектов в единицу времени к среднему числу объектов, исправно работающих в данный отрезок времени.

(13)

где

(14)

среднее число исправно работающих объектов в интервале Δt; N_i – число объектов, исправно работающих в начале интервала Δt; N_i+1 – число объектов, исправно работающих в конце интервала Δt.

Вероятностная оценка этой характеристики находится из выражения

(15)

Интенсивность отказов является основной количественной характеристикой надежности элементов. Если она известна, то можно найти все другие показатели надежности. В табл.1.1 показана взаимосвязь между показателями надежности.

Таблица 3.1 Взаимосвязь между показателями надежности

3.1.1. Показатели надежности восстанавливаемых систем

Время эксплуатации восстанавливаемых систем состоит из интервалов времени работы и интервалов времени восстановления, которые следуют друг за другом. Поэтому показатели надежности восстанавливаемых систем делятся на три группы: показатели безотказности, ремонтопригодности и комплексные.

В пределах отдельного интервала работы для восстанавливаемых систем справедливы все показатели безотказности, рассмотренные в предыдущем разделе [P(t), Q(t), α(t), λ(t)], если считать за начальный момент времени t = 0 начало интервала. Чтобы учесть факт отказа и восстановления системы, вводят параметр потока отказов ω(t). Параметром потока отказов называется отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки:

(16)

где M |n(t +Δt)|, M |n(t)| - математическое ожидание числа отказов за время t +Δt, t.

Статистически параметр потока отказов описывается выражением:

(17)

В этом случае во время испытаний на надежность отказавшие объекты мгновенно заменяются новыми или восстановленными. Таким образом, в течение всего интервала Δt испытывается постоянное число объектов N0, а время восстановления не принимается во внимание.

Величина

(18)

называется средней наработкой на отказ и характеризует среднее время между соседними отказами восстанавливаемого объекта.

Рассмотрим показатели ремонтопригодности. Время от начала ремонта до его окончания называется временем восстановления и является случайной величиной. Функцию распределения этой величины называют вероятностью восстановления S(t). Это вероятность того, что объект будет восстановлен за время t.

Экспериментально величина S(t) определяется по формуле

(19)

где N_в – число объектов, восстановленных за время t: N_ов – число объектов, поставленных на восстановление.

Функция S(t) с вероятностной точки зрения идентична функции Q(t) и имеет те же свойства. Аналогично вводятся показатели: частота восстановления α_в(t) как плотность распределения времени восстановления и интенсивность восстановления μ(t) как условная плотность распределения времени восстановления при условии, что до момента времени t восстановление объекта не произошло

(20)

Их статистические оценки следующие:

(21)

где n_в(Δt) – число объектов, восстановленных в интервале времени (t - Δt/2, t +Δt/2); N_в.ср – среднее число объектов, которые были неработоспособны в интервале (t - Δt/2, t +Δt/2).

Среднее время восстановления - математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния объекта

(22)

По статистическим данным этот показатель определяется

(23)

где t_iв – время восстановления i-го объекта.

Коэффициент готовности К_г - вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени t:

(25)

По статистическим данным коэффициент готовности определяется отношением времени исправной работы объекта к сумме времен исправной работы и вынужденного простоя:

(26)

где t_р – суммарное время исправной работы объекта; t_п – суммарное время вынужденного простоя.

Коэффициент вынужденного простоя К_п – отношение времени вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок.

Согласно определению

(27)

или, переходя к средним величинам

(28)

Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью

(29)

3.1.2. Математические модели надежности

Зависимость показателей надежности от времени описывается с помощью математической модели надежности (ММН) - математического выражения, позволяющего определить показатели надежности. Простейшие ММН в виде формул с эмпирическими коэффициентами носят название статических моделей распределения.

Наиболее распространенной статической моделью надежности является экспоненциальная модель распределения времени до отказа, по которой вероятность безотказной работы объекта выражается зависимостью

(30)

где λ - параметр модели.

Функция плотности вероятностей распределения времени до отказа при экспоненциальной модели

(31)

Функция интенсивности отказов при экспоненциальной модели

(32)

Наработка до отказа при экспоненциальной модели

(33)

Экспоненциальная модель может быть использована при расчетах надежности объекта относительно внезапных отказов на участке нормального функционирования (интенсивность отказов постоянная величина). Из нее следует, вероятность безотказной работы объекта со временем уменьшается по экспоненциальному закону.

С экспоненциальной моделью тесно связана модель Пуассона, позволяющая выразить вероятность Р(t, n) того, что на заданном интервале времени (0, t) произошло ровно n отказов, если время между отдельными отказами распределено экспоненциально с параметром λ. По модели Пуассона

(34)

При расчете надежности объектов относительно постепенных отказов (так называемая параметрическая надежность) используется модель нормального распределения. Это объясняется тем, что параметры объектов как случайные величины, зависящие от множества внешних факторов, обычно подчиняются нормальному закону, если ни один из внешних факторов не имеет главенствующего значения. Характеристики надежности в этом случае определяются по формулам:

(35)

(36)

где Т и σ - параметры нормального распределения.

В начальный период эксплуатации, когда постепенные отказы еще не проявляются и поэтому не оказывают влияния на надежность, вероятность безотказной работы уменьшается незначительно. В дальнейшем интенсивность отказов быстро возрастает и надежность резко снижается.

Во время интенсивного старения объекта для расчета надежности можно использовать модель распределения Рэлея:

(37)

где σ - параметр распределения Рэлея.

Из рассмотренной модели надежности следует, что интенсивность отказов с течением времени линейно растет, и поэтому вероятность безотказной работы уменьшается значительно быстрее, чем при экспоненциальном законе, когда λ=const.

Для периода приработки объекта может использоваться модель Вейбулла:

(38)

где λ₀, k – параметры модели.

3.1.3. Методы повышения надежности

Все методы повышения надежности технических средств систем могут быть сведены к следующим:

• резервирование;

• уменьшение интенсивности отказов технических средств;

• сокращение времени непрерывной работы;

• уменьшение среднего времени восстановления.

Реализация указанных методов может осуществляться либо при проектировании, либо при изготовлении, либо в процессе эксплуатации технических средств.

Уменьшить среднее время восстановления можно, повышая надежность технических средств и тем самым, уменьшая число отказов, или сокращая время, необходимое для отыскания и устранения отказов. Сократить время, необходимое для отыскания и устранения неисправностей, можно, применяя встроенный контроль, автоматизацию проверок, повышение квалификации обслуживающего персонала, сбор и обобщение опыта эксплуатации.

Уменьшить время непрерывной работы объектов можно в том случае, если имеется возможность выключать объекты на определенные промежутки времени.

Наиболее эффективными и многочисленными методами повышения надежности, являются методы, которые применяются при проектировании технических средств. К таким методам относятся:

• резервирование;

• выбор наиболее надежных элементов;

• создание схем с ограниченными последствиями отказов элементов;

• облегчение электрических, механических, тепловых и других режимов работы элементов;

• стандартизация и унификация элементов и узлов;

• встроенный контроль;

• автоматизация проверок.

Эффективность этих методов состоит в том, что они принципиально позволяют из малонадежных элементов строить надежные объекты и системы. Эти методы позволяют уменьшить интенсивность отказов объектов и систем, уменьшить среднее время их восстановления и время непрерывной работы.

Повысить надежность системы в процессе ее эксплуатации чрезвычайно трудно. Это объясняется тем, что надежность системы в основном закладывается в процессе ее проектирования и изготовления. При эксплуатации системы ее надежность уменьшается, причем скорость ее снижения зависит от методов эксплуатации, квалификации обслуживающего персонала и условий эксплуатации.

При проектировании систем одним из наиболее эффективных и просто реализуемых методов повышения надежности является резервирование. Применяются структурное, информационное и временное резервирование.

Структурным (аппаратным) резервированием называется способ повышения надежности, заключающийся в использовании дополнительных элементов, которые в случае отказа основных могут выполнять их функции.

Основными способами резервирования являются:

• постоянное или статическое резервирование;

• резервирование замещением или динамическое резервирование;

• гибридное резервирование.

Постоянным или статическим называется резервирование, при котором резервные блоки постоянно включены и работают с основным блоком в одинаковом режиме.

Резервированием замещением или динамическим называется резервирование, при котором резервные блоки выключены и замещают основные блоки только при их отказе.

Гибридное резервирование сочетает свойства статического и динамического резервирования.

В системах со статическим резервированием восстановление работоспособности после отказа происходит мгновенно, а в системах с динамическим резервированием время восстановления в зависимости от степени автоматизации процедур восстановления изменяется в широких пределах.

Различают нагруженный, ненагруженный и облегченный резервы. Нагруженным резервом называется резервный блок, находящийся в том же рабочем режиме, что и основной. Ненагруженным резервом называется резервный блок, практически не несущий нагрузок. Облегченным резервом называется резервный блок, находящийся в менее нагруженном рабочем режиме, чем основной.

Основным параметром резервирования является его кратность. Под кратностью резервирования понимается отношение числа резервных элементов к числу резервируемых (основных). В зависимости от кратности резервирование подразделяется на резервирование с целой и дробной кратностью.

Резервированием с целой кратностью называется такое резервирование, при котором для нормальной работы резервированного соединения достаточно, чтобы исправным был хотя бы один элемент.

При резервировании с дробной кратностью нормальная работа резервированного соединения возможна при условии, если число исправных элементов не менее необходимого для работы.

Кратность резервирования определяется из соотношения

(39)

где: l – общее число элементов расчета резервированного соединения, h – число элементов необходимое для нормальной работы, l-h – число резервных элементов. Причем сокращать данную дробь нельзя, за исключением случая, когда , т.е. при резервировании с целой кратностью.

В зависимости от того, имеется в процессе эксплуатации возможность ремонта отказавших блоков или нет, различают резервирование с восстановлением и без восстановления. Системы, в которых используется резервирование с восстановлением (без восстановления) называются обслуживаемыми (необслуживаемыми) системами.

Информационное резервирование предполагает избыточное кодирование информации, которая используется в системе.

Временное резервирование возможно тогда, когда в процессе функционирования система имеет ресурс времени, вследствие чего могут осуществляться повторный расчет данных или другие контрольные процедуры.